Perspective Projection Matrix(원근 투영 행렬)의 유도

원문 : http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html

Overview

컴퓨터 모니터는 평면이다. OpenGL에서 렌더링된 3d장면은 2d이미지로 컴퓨터 스크린에 투영되야 한다. GL_PROJECTION 행렬은 이 투영변환에 사용된다. (OpenGL 2.0부터 쉐이더를 사용하므로 투영행렬로 생각하자.) 처음에 투영행렬은 모든 vertex data를 카메라 좌표로부터 clip좌표로 변환시킨다. 그리고 이 clip좌표는 또한 w요소로 나누는 것에 의해 normalized device coordinates (NDC, 정규좌표)로 변환된다.

 
A triangle clipped by frustum

따라서 우리는 NDC 변환과 clipping(절두체 자르기?)가 투영행렬로 통합되는 것을 기억해야한다. 앞으로의 섹션들은 left, right, bottom, top, near, far 이 6개의 파라미터들로 부터 어떻게 투영행렬을 얻는지 설명한다.

clipping은 w_c로 나누기 전에 clip좌표에서 수행된다는 것을 기억해라. clip좌표 x_c, y_cand z_c 는 w_c와 비교함으로 테스트된다. 어떤 클립좌표가 -w_c보다 작거나 w_c보다 크면 그 vertex는 폐기될 것이다.

그러면 OpenGL은 클리핑이 발생하는 다면체의 면을 재구성할 것이다.

Perspective Projection

 
Perspective Frustum and Normalized Device Coordinates (NDC)

원근 투영에서 끝이 잘린 피라미드내 한 3차원 점은 큐브(NDC)로 매핑된다. x축 좌표계의 범위는 [l, r] 에서 [-1, 1]로 y는 [b, t]에서 [-1, 1]로 그리고 z는 [n, f]에서 [-1, 1]로 (왼쪽 그림과 같이)

카메라 좌표계는 오른손 좌표계에서 정의되지만(opengl이라서) NDC는 왼손 좌표계를 사용한다. 이것은 원래 카메라는 -Z축을 바라보지만 NDC에서는 +Z축을 바라보는것을 의미한다. glFrustum()는 near, far 거리값을 양수만 취하기 때문에 투영행렬을 유도하는 동안 부호를 바꿀 필요가 있다.

OpenGL에서 카메라공간상의 한 점은 near평면으로 투영된다. 아래 그림은 어떻게 카메라공간상에서 점(x_e, y_e, z_e)가 near평면 위 (x_p, y_p, z_p)로 투영되는지 보여준다.

 
Top View of Frustum

 
Side View of Frustum

절두체를 위에서 볼때 x_e는 삼각형의 닮음비에 의해 계산된 x_p로 매핑된다.

옆에서 볼때 y_p 또한 같은 방식으로 계산한다. 

x_p와 y_p는 z_e에 의존한다. 역으로 둘다 -z_e에 비례한다. 즉 둘다 -z_e로 나눠진다. 이는 투영행렬을 유도하는데 중요한 첫 단서이다. 카메라 좌표가 투영행렬을 곱함으로 변환된 이후에 클립 좌표는 여전히 동종의 좌표이다. 클립 좌표의 w요소로 나누는것으로 정규좌표(NDC)가 된다. (See more details on OpenGL Transformation.) 
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그러므로 우리는 클립 좌표의 w요소를 -z_e으로 설정할 수 있다. 그러면 투영행렬의 4번째 행은 (0, 0, -1, 0)이 된다. ([-1, 1]로 매핑되기 때문이며 이 값으로 나누어 NDC로 변환된다.) 

그 다음에 x_p와 y_p를 NDC의 x_n와 y_n으로 선형관계에서 매핑한다. [l, r] ⇒ [-1, 1] and [b, t] ⇒ [-1, 1].

 
Mapping from x_p to x_n

 

 
Mapping from y_p to y_n

 

x_p와 y_p를 위 방정식으로 교체한다.

원근 분할(x_c/w_c, y_c/w_c)에 대해 -z_e로 나누어지는 두 방정식을 얻었다. 그리고 w_c를 미리 -z_e로 설정했다. 위 방정식의 괄호 안 부분들이 클립 좌표의 x_c, y_c가 된다.

이것으로부터 우리는 투영행렬의 첫번째행과 두번째행을 구할 수 있다.

이제 투영행렬의 세번째행만 남았다. z_n를 구하는 것은 조금 다르다. 왜냐하면 카메라 좌표상의 z_e는 항상 near평면의 -n으로 투영되기 때문이다. 하지만 우리는 클리핑과 깊이 테스트를 위한 특별한 z값이 필요하다. 또 unproject(역변환. 투영행렬의 역행렬을 취하여 투영되기 전의 점을 구하는 듯)을 할 수 있어야 한다. z가 x나 y값에 의존하지 않는 것을 알기 때문에 z_n와 z_e사이 관계를 알기 위해 w요소를 차용한다. 그러면 이런식으로 투영행렬의 세번째 행을 명시할 수 있다. 

카메라 공간에서 w_e는 1이므로 방정식은 이렇게 된다.

계수 A, B를 구하기 위해 (z_e, z_n)의 관계 (-n, -1)와 (-f, 1)를 이용한다. 그리고 위 방정식에 넣어서 연립장정식을 풀 수 있다.

A와 B에 대해 방정식을 풀기 위해 (1)식을 B에 대하여 다시 쓰면

식(1')을 식(2)의 B로 교체하여 A에 대하여 풀면

구한 A를 식(1)에 넣어서 B를 구한다.

A와 B를 구했으므로 z_e, z_n사이 관계는 이렇게 된다.

마침내 투영행렬 전체를 구하였다. 완성된 행렬의 모습이다.
 
OpenGL Perspective Projection Matrix

이 투영 행렬은 일반적인 절두체에 대해서이다. 만약 viewing 공간이 좌우 대칭 즉,  and 이면 이렇게 간략하게 표현할 수 있다.

마치기 전에 식(3)의 z_e, z_n관계를 다시 한 번 보기 바란다. 관계가 비선형관계이며 유리함수라는 것을 알 수 있다. 이것은 near평면에서 매우 정확하지만 far평면에서는 매우 부정확하다는 것을 의미한다. 만약 [-n, -f]범위가 매우 크다면 깊이 정확도 문제(z-fighting)를 초래할 수 있다. far평면 근처에서 z_e의 작은 변화는 z_n값에 영향을 미치지 않는 문제이다. z-fighting을 최소화하기 위해 가능한한 near와 far사이 거리는 작아야 한다.

 

Comparison of Depth Buffer Precisions

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국어도 못하는데 외국어를 번역하려하니 어려운 것 같다.